FA — Calcul littéral — Multiplication de polynômes

Multiplier deux binômes : chaque terme du premier polynôme multiplie chaque terme du second (double distributivité), puis on réduit si possible. Curriculum 10VP Vaud (PER/CIIP).

FA Double distributivité Séries de 5

📐 La méthode en un coup d'œil (clique pour replier)

① L'idée : 4 produits

(x + 3)(x + 2) = x·x + x·2 + 3·x + 3·2
= x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6

Chaque terme du 1^er facteur multiplie chaque terme du 2^e : 2 × 2 = 4 produits. Ensuite seulement, on regroupe les termes semblables.

② Voir avec une aire

Un rectangle de côtés (x + 3) et (x + 2) se découpe en 4 zones : son aire est x² + 2x + 3x + 6. Les 4 produits sont les 4 zones.
(Image valable quand x, 3 et 2 sont positifs ; la méthode, elle, marche avec les signes.)

③ Le tableau (très sûr avec les signes)

×	x	+ 5
x	x²	+ 5x
− 4	− 4x	− 20

(x − 4)(x + 5) : les signes restent collés aux termes des en-têtes. Case par case : signe, puis nombres, puis lettres.
On regroupe : +5x −4x = +x → x² + x − 20.

Même logique qu'avec les nombres : 23 × 14 = (20 + 3)(10 + 4) = 200 + 80 + 30 + 12 = 322.

④ Les 5 étapes

Repère les 4 termes avec leur signe : dans (x − 4), les termes sont x et − 4.
Écris les 4 produits : 1^er×1^er, 1^er×2^e, 2^e×1^er, 2^e×2^e. Pour chacun : signe, nombre, lettre (x·x = x²).
Écris les 4 termes à la suite, sans parenthèses.
Regroupe les termes semblables (même lettre, même exposant).
Ordonne par puissances décroissantes (le nombre seul à la fin), puis contrôle : remplace x par 2 dans l'énoncé et dans ta réponse, tu dois obtenir le même nombre.

⚠️ Les 4 pièges les plus fréquents

(x + 3)(x + 2) = x² + 6 → il manque les produits croisés : 4 produits, pas 2.

(x − 4)(x − 5) = x² − 9x − 20 → (−4)·(−5) = +20 : x² − 9x + 20.

x · x = 2x ou x · x = x → x · x = x² (on ajoute les exposants : x¹·x¹ = x²).

x² + 2x + 3x + 6 ou 6 + 5x + x² → ici on demande la forme réduite (x² + 5x + 6) et ordonnée (puissances décroissantes).

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(aX + b)(cX + d) — même lettre

On multiplie chaque terme du premier binôme par chaque terme du second, puis on réduit les termes semblables obtenus.

🎯 Objectifs TS : Double distributivité + Réduire l'expression obtenue

Exercice 1 / 5

🔀

(aX + b)(cY + d) — deux lettres

Avec deux lettres différentes, les 4 produits obtenus ne peuvent généralement pas se réduire entre eux : le résultat garde 4 termes.

🎯 Objectif TS : Savoir utiliser la double distributivité

Exercice 1 / 5